Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41474 / 57858
↖ ↑ ↗
← S 79.689151°
E 47.823487°		 ← 109.32 m → S 79.689151°
E 47.828979°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 79.690134°
E 47.823487°		 ← 109.31 m →
11 951 m²		 S 79.690134°
E 47.828979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632850646972656 y=0.882850646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632850646972656 × 216)
    floor (0.632850646972656 × 65536)
    floor (41474.5)     		tx = 41474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882850646972656 × 216)
    floor (0.882850646972656 × 65536)
    floor (57858.5)     		ty = 57858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41474 / 57858 ti = "16/41474/57858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41474/57858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41474 ÷ 216
    41474 ÷ 65536     		x = 0.632843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57858 ÷ 216
    57858 ÷ 65536     		y = 0.882843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632843017578125 × 2 - 1) × π
    0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.76568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40547362293442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83467730} λ = 0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40547362293442))-π/2
    2×atan(0.0902227539233974)-π/2
    2×0.0899791339062527-π/2
    0.179958267812505-1.57079632675     		φ = -1.39083806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39083806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.689151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41474 KachelY 57858 0.83467730 -1.39083806 47.823487 -79.689151
    Oben rechts KachelX + 1 41475 KachelY 57858 0.83477317 -1.39083806 47.828979 -79.689151
    Unten links KachelX 41474 KachelY + 1 57859 0.83467730 -1.39085522 47.823487 -79.690134
    Unten rechts KachelX + 1 41475 KachelY + 1 57859 0.83477317 -1.39085522 47.828979 -79.690134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39083806--1.39085522) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dl = 109.326359999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39083806--1.39085522) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dr = 109.326359999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83467730-0.83477317) × cos(-1.39083806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178988514319311 × 6371000     		do = 109.323995516703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83467730-0.83477317) × cos(-1.39085522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178971631406995 × 6371000     		du = 109.313683640338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39083806)-sin(-1.39085522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178988514319311-0.178971631406995)×R²
    abs(0.83477317-0.83467730)×1.68829123161074e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68829123161074e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68829123161074e-05×40589641000000     		ar = 11951.4308105284m²