Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41480 / 57864
↖ ↑ ↗
← S 79.695048°
E 47.856445°		 ← 109.26 m → S 79.695048°
E 47.861938°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 79.696031°
E 47.856445°		 ← 109.25 m →
11 938 m²		 S 79.696031°
E 47.861938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632942199707031 y=0.882942199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632942199707031 × 216)
    floor (0.632942199707031 × 65536)
    floor (41480.5)     		tx = 41480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882942199707031 × 216)
    floor (0.882942199707031 × 65536)
    floor (57864.5)     		ty = 57864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41480 / 57864 ti = "16/41480/57864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41480/57864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41480 ÷ 216
    41480 ÷ 65536     		x = 0.6329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57864 ÷ 216
    57864 ÷ 65536     		y = 0.8829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40604886572986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83525254} λ = 0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40604886572986))-π/2
    2×atan(0.0901708688589036)-π/2
    2×0.0899276675445434-π/2
    0.179855335089087-1.57079632675     		φ = -1.39094099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39094099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.695048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41480 KachelY 57864 0.83525254 -1.39094099 47.856445 -79.695048
    Oben rechts KachelX + 1 41481 KachelY 57864 0.83534841 -1.39094099 47.861938 -79.695048
    Unten links KachelX 41480 KachelY + 1 57865 0.83525254 -1.39095814 47.856445 -79.696031
    Unten rechts KachelX + 1 41481 KachelY + 1 57865 0.83534841 -1.39095814 47.861938 -79.696031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39094099--1.39095814) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39094099--1.39095814) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83525254-0.83534841) × cos(-1.39094099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178887245571085 × 6371000     		do = 109.262141803803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83525254-0.83534841) × cos(-1.39095814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178870372181457 × 6371000     		du = 109.251835743779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39094099)-sin(-1.39095814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178887245571085-0.178870372181457)×R²
    abs(0.83534841-0.83525254)×1.68733896289408e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68733896289408e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68733896289408e-05×40589641000000     		ar = 11937.7081248387m²