Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 415 / 673
↖ ↑ ↗
← S 49.152970°
W 34.101563°		 ← 25.568 km → S 49.152970°
W 33.750000°		 →
↑
25.508 km
↓
↑
25.508 km
↓
S 49.382373°
W 34.101563°		 ← 25.449 km →
650.684 km²		 S 49.382373°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40576171875 y=0.65771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40576171875 × 210)
    floor (0.40576171875 × 1024)
    floor (415.5)     		tx = 415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65771484375 × 210)
    floor (0.65771484375 × 1024)
    floor (673.5)     		ty = 673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 415 / 673 ti = "10/415/673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/415/673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 415 ÷ 210
    415 ÷ 1024     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 673 ÷ 210
    673 ÷ 1024     		y = 0.6572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987883627370117))-π/2
    2×atan(0.372363918500337)-π/2
    2×0.356457584590163-π/2
    0.712915169180325-1.57079632675     		φ = -0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 415 KachelY 673 -0.59518455 -0.85788116 -34.101563 -49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 416 KachelY 673 -0.58904862 -0.85788116 -33.750000 -49.152970
    Unten links KachelX 415 KachelY + 1 674 -0.59518455 -0.86188500 -34.101563 -49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 416 KachelY + 1 674 -0.58904862 -0.86188500 -33.750000 -49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85788116--0.86188500) × R
    0.00400383999999998 × 6371000     		dl = 25508.4646399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85788116--0.86188500) × R
    0.00400383999999998 × 6371000     		dr = 25508.4646399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.58904862) × cos(-0.85788116) × R
    0.00613593000000001 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 25567.8066332764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.58904862) × cos(-0.86188500) × R
    0.00613593000000001 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 25449.2025344395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85788116)-sin(-0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.651007776650759)×R²
    abs(-0.58904862--0.59518455)×0.00303397289486684×R²
    0.00613593000000001×0.00303397289486684×6371000²
    0.00613593000000001×0.00303397289486684×40589641000000     		ar = 650683656.441623m²