Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41504 / 41504
↖ ↑ ↗
← S 43.197167°
E 47.988281°		 ← 445.27 m → S 43.197167°
E 47.993774°		 →
↑
445.27 m
↓
↑
445.27 m
↓
S 43.201172°
E 47.988281°		 ← 445.24 m →
198 257 m²		 S 43.201172°
E 47.993774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633308410644531 y=0.633308410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633308410644531 × 216)
    floor (0.633308410644531 × 65536)
    floor (41504.5)     		tx = 41504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633308410644531 × 216)
    floor (0.633308410644531 × 65536)
    floor (41504.5)     		ty = 41504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41504 / 41504 ti = "16/41504/41504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41504/41504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41504 ÷ 216
    41504 ÷ 65536     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41504 ÷ 216
    41504 ÷ 65536     		y = 0.63330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837553510161621))-π/2
    2×atan(0.432767991853207)-π/2
    2×0.408431765098965-π/2
    0.81686353019793-1.57079632675     		φ = -0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41504 KachelY 41504 0.83755351 -0.75393280 47.988281 -43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 41505 KachelY 41504 0.83764938 -0.75393280 47.993774 -43.197167
    Unten links KachelX 41504 KachelY + 1 41505 0.83755351 -0.75400269 47.988281 -43.201172
    Unten rechts KachelX + 1 41505 KachelY + 1 41505 0.83764938 -0.75400269 47.993774 -43.201172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75393280--0.75400269) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dl = 445.269190000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75393280--0.75400269) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dr = 445.269190000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83764938) × cos(-0.75393280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 445.265791993084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83764938) × cos(-0.75400269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728954626132205 × 6371000     		du = 445.236570526463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75393280)-sin(-0.75400269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.728954626132205)×R²
    abs(0.83764938-0.83755351)×4.78422588927607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78422588927607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78422588927607e-05×40589641000000     		ar = 198256.632906796m²