Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41504 / 57888
↖ ↑ ↗
← S 79.718605°
E 47.988281°		 ← 109.02 m → S 79.718605°
E 47.993774°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
S 79.719586°
E 47.988281°		 ← 109 m →
11 883 m²		 S 79.719586°
E 47.993774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633308410644531 y=0.883308410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633308410644531 × 216)
    floor (0.633308410644531 × 65536)
    floor (41504.5)     		tx = 41504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883308410644531 × 216)
    floor (0.883308410644531 × 65536)
    floor (57888.5)     		ty = 57888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41504 / 57888 ti = "16/41504/57888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41504/57888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41504 ÷ 216
    41504 ÷ 65536     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57888 ÷ 216
    57888 ÷ 65536     		y = 0.88330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40834983691162))-π/2
    2×atan(0.0899636268086538)-π/2
    2×0.0897220931370342-π/2
    0.179444186274068-1.57079632675     		φ = -1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41504 KachelY 57888 0.83755351 -1.39135214 47.988281 -79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 41505 KachelY 57888 0.83764938 -1.39135214 47.993774 -79.718605
    Unten links KachelX 41504 KachelY + 1 57889 0.83755351 -1.39136925 47.988281 -79.719586
    Unten rechts KachelX + 1 41505 KachelY + 1 57889 0.83764938 -1.39136925 47.993774 -79.719586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39135214--1.39136925) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39135214--1.39136925) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83764938) × cos(-1.39135214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 109.015057941723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83764938) × cos(-1.39136925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178465877192446 × 6371000     		du = 109.004775151465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39135214)-sin(-1.39136925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.178465877192446)×R²
    abs(0.83764938-0.83755351)×1.68352916728454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68352916728454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68352916728454e-05×40589641000000     		ar = 11882.932271164m²