Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41536 / 25152
↖ ↑ ↗
← N 38.548166°
E 48.164062°		 ← 477.74 m → N 38.548166°
E 48.169556°		 →
↑
477.76 m
↓
↑
477.76 m
↓
N 38.543869°
E 48.164062°		 ← 477.77 m →
228 251 m²		 N 38.543869°
E 48.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633796691894531 y=0.383796691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633796691894531 × 216)
    floor (0.633796691894531 × 65536)
    floor (41536.5)     		tx = 41536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383796691894531 × 216)
    floor (0.383796691894531 × 65536)
    floor (25152.5)     		ty = 25152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41536 / 25152 ti = "16/41536/25152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41536/25152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41536 ÷ 216
    41536 ÷ 65536     		x = 0.6337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25152 ÷ 216
    25152 ÷ 65536     		y = 0.3837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84062147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84062147} λ = 0.84062147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730174855012695))-π/2
    2×atan(2.07544347764401)-π/2
    2×1.12179436700708-π/2
    2.24358873401417-1.57079632675     		φ = 0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84062147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.164062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41536 KachelY 25152 0.84062147 0.67279241 48.164062 38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 41537 KachelY 25152 0.84071735 0.67279241 48.169556 38.548166
    Unten links KachelX 41536 KachelY + 1 25153 0.84062147 0.67271742 48.164062 38.543869
    Unten rechts KachelX + 1 41537 KachelY + 1 25153 0.84071735 0.67271742 48.169556 38.543869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67279241-0.67271742) × R
    7.4989999999997e-05 × 6371000     		dl = 477.761289999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67279241-0.67271742) × R
    7.4989999999997e-05 × 6371000     		dr = 477.761289999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84062147-0.84071735) × cos(0.67279241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 477.737513838865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84062147-0.84071735) × cos(0.67271742) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.782131294203398 × 6371000     		du = 477.766058618701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67279241)-sin(0.67271742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.782131294203398)×R²
    abs(0.84071735-0.84062147)×4.67294927991579e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67294927991579e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67294927991579e-05×40589641000000     		ar = 228251.309795053m²