Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4158 / 4166
↖ ↑ ↗
← S  3.074695°
E  2.724609°		 ← 4 879.46 m → S  3.074695°
E  2.768554°		 →
↑
4 879.36 m
↓
↑
4 879.36 m
↓
S  3.118576°
E  2.724609°		 ← 4 879.26 m →
23 808 134 m²		 S  3.118576°
E  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50762939453125 y=0.50860595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50762939453125 × 213)
    floor (0.50762939453125 × 8192)
    floor (4158.5)     		tx = 4158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50860595703125 × 213)
    floor (0.50860595703125 × 8192)
    floor (4166.5)     		ty = 4166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4158 / 4166 ti = "13/4158/4166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4158/4166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4158 ÷ 213
    4158 ÷ 8192     		x = 0.507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4166 ÷ 213
    4166 ÷ 8192     		y = 0.508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.01708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04755340} λ = 0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0536893275744629))-π/2
    2×atan(0.947726493258913)-π/2
    2×0.758566387144366-π/2
    1.51713277428873-1.57079632675     		φ = -0.05366355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05366355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.074695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4158 KachelY 4166 0.04755340 -0.05366355 2.724609 -3.074695
    Oben rechts KachelX + 1 4159 KachelY 4166 0.04832039 -0.05366355 2.768554 -3.074695
    Unten links KachelX 4158 KachelY + 1 4167 0.04755340 -0.05442942 2.724609 -3.118576
    Unten rechts KachelX + 1 4159 KachelY + 1 4167 0.04832039 -0.05442942 2.768554 -3.118576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05366355--0.05442942) × R
    0.000765870000000002 × 6371000     		dl = 4879.35777000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05366355--0.05442942) × R
    0.000765870000000002 × 6371000     		dr = 4879.35777000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04755340-0.04832039) × cos(-0.05366355) × R
    0.000766989999999995 × 0.998560457213916 × 6371000     		do = 4879.4589738351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04755340-0.04832039) × cos(-0.05442942) × R
    0.000766989999999995 × 0.998519084781961 × 6371000     		du = 4879.25680772396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05366355)-sin(-0.05442942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998560457213916-0.998519084781961)×R²
    abs(0.04832039-0.04755340)×4.13724319547892e-05×R²
    0.000766989999999995×4.13724319547892e-05×6371000²
    0.000766989999999995×4.13724319547892e-05×40589641000000     		ar = 23808134.0007213m²