Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41600 / 57984
↖ ↑ ↗
← S 79.812302°
E 48.515625°		 ← 108.04 m → S 79.812302°
E 48.521118°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 79.813274°
E 48.515625°		 ← 108.03 m →
11 667 m²		 S 79.813274°
E 48.521118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634773254394531 y=0.884773254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634773254394531 × 216)
    floor (0.634773254394531 × 65536)
    floor (41600.5)     		tx = 41600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884773254394531 × 216)
    floor (0.884773254394531 × 65536)
    floor (57984.5)     		ty = 57984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41600 / 57984 ti = "16/41600/57984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41600/57984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41600 ÷ 216
    41600 ÷ 65536     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57984 ÷ 216
    57984 ÷ 65536     		y = 0.884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884765625 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41755372163867))-π/2
    2×atan(0.0891394107709529)-π/2
    2×0.0889044343380513-π/2
    0.177808868676103-1.57079632675     		φ = -1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41600 KachelY 57984 0.84675739 -1.39298746 48.515625 -79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 41601 KachelY 57984 0.84685327 -1.39298746 48.521118 -79.812302
    Unten links KachelX 41600 KachelY + 1 57985 0.84675739 -1.39300441 48.515625 -79.813274
    Unten rechts KachelX + 1 41601 KachelY + 1 57985 0.84685327 -1.39300441 48.521118 -79.813274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39298746--1.39300441) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39298746--1.39300441) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.84685327) × cos(-1.39298746) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 108.043385981937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.84685327) × cos(-1.39300441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176856730015711 × 6371000     		du = 108.033195277987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39298746)-sin(-1.39300441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.176856730015711)×R²
    abs(0.84685327-0.84675739)×1.66827850691664e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66827850691664e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66827850691664e-05×40589641000000     		ar = 11666.8875460132m²