Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4163 / 4163
↖ ↑ ↗
← S  2.943041°
E  2.944336°		 ← 4 880.05 m → S  2.943041°
E  2.988281°		 →
↑
4 879.99 m
↓
↑
4 879.99 m
↓
S  2.986928°
E  2.944336°		 ← 4 879.85 m →
23 814 140 m²		 S  2.986928°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50823974609375 y=0.50823974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50823974609375 × 213)
    floor (0.50823974609375 × 8192)
    floor (4163.5)     		tx = 4163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50823974609375 × 213)
    floor (0.50823974609375 × 8192)
    floor (4163.5)     		ty = 4163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4163 / 4163 ti = "13/4163/4163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4163/4163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4163 ÷ 213
    4163 ÷ 8192     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4163 ÷ 213
    4163 ÷ 8192     		y = 0.5081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0513883563927002))-π/2
    2×atan(0.949909695387445)-π/2
    2×0.759715286447506-π/2
    1.51943057289501-1.57079632675     		φ = -0.05136575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05136575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.943041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4163 KachelY 4163 0.05138836 -0.05136575 2.944336 -2.943041
    Oben rechts KachelX + 1 4164 KachelY 4163 0.05215535 -0.05136575 2.988281 -2.943041
    Unten links KachelX 4163 KachelY + 1 4164 0.05138836 -0.05213172 2.944336 -2.986928
    Unten rechts KachelX + 1 4164 KachelY + 1 4164 0.05215535 -0.05213172 2.988281 -2.986928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05136575--0.05213172) × R
    0.000765969999999998 × 6371000     		dl = 4879.99486999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05136575--0.05213172) × R
    0.000765969999999998 × 6371000     		dr = 4879.99486999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05215535) × cos(-0.05136575) × R
    0.000766990000000002 × 0.998681069894921 × 6371000     		do = 4880.04834689157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05215535) × cos(-0.05213172) × R
    0.000766990000000002 × 0.998641449606272 × 6371000     		du = 4879.85474261694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05136575)-sin(-0.05213172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998681069894921-0.998641449606272)×R²
    abs(0.05215535-0.05138836)×3.96202886490116e-05×R²
    0.000766990000000002×3.96202886490116e-05×6371000²
    0.000766990000000002×3.96202886490116e-05×40589641000000     		ar = 23814139.6685821m²