Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 417 / 607
↖ ↑ ↗
← S 31.653381°
W 33.398438°		 ← 33.277 km → S 31.653381°
W 33.046875°		 →
↑
33.223 km
↓
↑
33.223 km
↓
S 31.952162°
W 33.398438°		 ← 33.169 km →
1 103.76 km²		 S 31.952162°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40771484375 y=0.59326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40771484375 × 210)
    floor (0.40771484375 × 1024)
    floor (417.5)     		tx = 417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59326171875 × 210)
    floor (0.59326171875 × 1024)
    floor (607.5)     		ty = 607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 417 / 607 ti = "10/417/607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/417/607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 417 ÷ 210
    417 ÷ 1024     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 607 ÷ 210
    607 ÷ 1024     		y = 0.5927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582912699379883))-π/2
    2×atan(0.558269923673894)-π/2
    2×0.509170300997706-π/2
    1.01834060199541-1.57079632675     		φ = -0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 417 KachelY 607 -0.58291270 -0.55245572 -33.398438 -31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 418 KachelY 607 -0.57677678 -0.55245572 -33.046875 -31.653381
    Unten links KachelX 417 KachelY + 1 608 -0.58291270 -0.55767043 -33.398438 -31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 418 KachelY + 1 608 -0.57677678 -0.55767043 -33.046875 -31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55245572--0.55767043) × R
    0.00521471000000007 × 6371000     		dl = 33222.9174100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55245572--0.55767043) × R
    0.00521471000000007 × 6371000     		dr = 33222.9174100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.57677678) × cos(-0.55245572) × R
    0.00613591999999996 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 33276.5650278929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.57677678) × cos(-0.55767043) × R
    0.00613591999999996 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 33169.1351631018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55245572)-sin(-0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.848490246343458)×R²
    abs(-0.57677678--0.58291270)×0.00274813292517362×R²
    0.00613591999999996×0.00274813292517362×6371000²
    0.00613591999999996×0.00274813292517362×40589641000000     		ar = 1103762506.08492m²