Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 417 / 609
↖ ↑ ↗
← S 32.249975°
W 33.398438°		 ← 33.061 km → S 32.249975°
W 33.046875°		 →
↑
33.007 km
↓
↑
33.007 km
↓
S 32.546813°
W 33.398438°		 ← 32.953 km →
1 089.46 km²		 S 32.546813°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40771484375 y=0.59521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40771484375 × 210)
    floor (0.40771484375 × 1024)
    floor (417.5)     		tx = 417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59521484375 × 210)
    floor (0.59521484375 × 1024)
    floor (609.5)     		ty = 609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 417 / 609 ti = "10/417/609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/417/609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 417 ÷ 210
    417 ÷ 1024     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 609 ÷ 210
    609 ÷ 1024     		y = 0.5947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.595184545682617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595184545682617))-π/2
    2×atan(0.551460786769341)-π/2
    2×0.503964044435201-π/2
    1.0079280888704-1.57079632675     		φ = -0.56286824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56286824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.249975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 417 KachelY 609 -0.58291270 -0.56286824 -33.398438 -32.249975
    Oben rechts KachelX + 1 418 KachelY 609 -0.57677678 -0.56286824 -33.046875 -32.249975
    Unten links KachelX 417 KachelY + 1 610 -0.58291270 -0.56804905 -33.398438 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 418 KachelY + 1 610 -0.57677678 -0.56804905 -33.046875 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56286824--0.56804905) × R
    0.00518081000000004 × 6371000     		dl = 33006.9405100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56286824--0.56804905) × R
    0.00518081000000004 × 6371000     		dr = 33006.9405100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.57677678) × cos(-0.56286824) × R
    0.00613591999999996 × 0.845728058505028 × 6371000     		do = 33061.1558643962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.57677678) × cos(-0.56804905) × R
    0.00613591999999996 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 32952.6408789602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56286824)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845728058505028-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.57677678--0.58291270)×0.002775891088863×R²
    0.00613591999999996×0.002775891088863×6371000²
    0.00613591999999996×0.002775891088863×40589641000000     		ar = 1089459167.80364m²