Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4170 / 4170
↖ ↑ ↗
← S  3.250209°
E  3.251953°		 ← 4 878.63 m → S  3.250209°
E  3.295898°		 →
↑
4 878.53 m
↓
↑
4 878.53 m
↓
S  3.294082°
E  3.251953°		 ← 4 878.42 m →
23 800 036 m²		 S  3.294082°
E  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50909423828125 y=0.50909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50909423828125 × 213)
    floor (0.50909423828125 × 8192)
    floor (4170.5)     		tx = 4170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50909423828125 × 213)
    floor (0.50909423828125 × 8192)
    floor (4170.5)     		ty = 4170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4170 / 4170 ti = "13/4170/4170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4170/4170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4170 ÷ 213
    4170 ÷ 8192     		x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4170 ÷ 213
    4170 ÷ 8192     		y = 0.509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.01806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0567572891501465))-π/2
    2×atan(0.944823360420454)-π/2
    2×0.75703474300958-π/2
    1.51406948601916-1.57079632675     		φ = -0.05672684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05672684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.250209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4170 KachelY 4170 0.05675729 -0.05672684 3.251953 -3.250209
    Oben rechts KachelX + 1 4171 KachelY 4170 0.05752428 -0.05672684 3.295898 -3.250209
    Unten links KachelX 4170 KachelY + 1 4171 0.05675729 -0.05749258 3.251953 -3.294082
    Unten rechts KachelX + 1 4171 KachelY + 1 4171 0.05752428 -0.05749258 3.295898 -3.294082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05672684--0.05749258) × R
    0.000765740000000001 × 6371000     		dl = 4878.52954000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05672684--0.05749258) × R
    0.000765740000000001 × 6371000     		dr = 4878.52954000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(-0.05672684) × R
    0.000766989999999995 × 0.998391464228098 × 6371000     		do = 4878.63319074385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(-0.05749258) × R
    0.000766989999999995 × 0.998347756807638 × 6371000     		du = 4878.41961472704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05672684)-sin(-0.05749258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998391464228098-0.998347756807638)×R²
    abs(0.05752428-0.05675729)×4.3707420459782e-05×R²
    0.000766989999999995×4.3707420459782e-05×6371000²
    0.000766989999999995×4.3707420459782e-05×40589641000000     		ar = 23800036.3303595m²