Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41728 / 7424
↖ ↑ ↗
← N 79.935918°
E 49.218750°		 ← 106.73 m → N 79.935918°
E 49.224243°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 79.934958°
E 49.218750°		 ← 106.74 m →
11 391 m²		 N 79.934958°
E 49.224243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636726379394531 y=0.113288879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636726379394531 × 216)
    floor (0.636726379394531 × 65536)
    floor (41728.5)     		tx = 41728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113288879394531 × 216)
    floor (0.113288879394531 × 65536)
    floor (7424.5)     		ty = 7424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41728 / 7424 ti = "16/41728/7424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41728/7424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41728 ÷ 216
    41728 ÷ 65536     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7424 ÷ 216
    7424 ÷ 65536     		y = 0.11328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11328125 × 2 - 1) × π
    0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42982556794141))-π/2
    2×atan(11.3569008996126)-π/2
    2×1.48297064539246-π/2
    2.96594129078492-1.57079632675     		φ = 1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41728 KachelY 7424 0.85902924 1.39514496 49.218750 79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 41729 KachelY 7424 0.85912511 1.39514496 49.224243 79.935918
    Unten links KachelX 41728 KachelY + 1 7425 0.85902924 1.39512821 49.218750 79.934958
    Unten rechts KachelX + 1 41729 KachelY + 1 7425 0.85912511 1.39512821 49.224243 79.934958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39514496-1.39512821) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39514496-1.39512821) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.85912511) × cos(1.39514496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 106.734868885764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.85912511) × cos(1.39512821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174766011024474 × 6371000     		du = 106.744942145432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39514496)-sin(1.39512821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.174766011024474)×R²
    abs(0.85912511-0.85902924)×1.64922419246538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64922419246538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64922419246538e-05×40589641000000     		ar = 11390.6689625415m²