Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41732 / 8964
↖ ↑ ↗
← N 78.344972°
E 49.240723°		 ← 123.39 m → N 78.344972°
E 49.246216°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
N 78.343863°
E 49.240723°		 ← 123.40 m →
15 220 m²		 N 78.343863°
E 49.246216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636787414550781 y=0.136787414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636787414550781 × 216)
    floor (0.636787414550781 × 65536)
    floor (41732.5)     		tx = 41732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136787414550781 × 216)
    floor (0.136787414550781 × 65536)
    floor (8964.5)     		ty = 8964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41732 / 8964 ti = "16/41732/8964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41732/8964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41732 ÷ 216
    41732 ÷ 65536     		x = 0.63677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8964 ÷ 216
    8964 ÷ 65536     		y = 0.13677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85941274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13677978515625 × 2 - 1) × π
    0.7264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28217991711163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85941274} λ = 0.85941274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28217991711163))-π/2
    2×atan(9.79801600891874)-π/2
    2×1.46908702584925-π/2
    2.9381740516985-1.57079632675     		φ = 1.36737772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85941274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36737772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.344972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41732 KachelY 8964 0.85941274 1.36737772 49.240723 78.344972
    Oben rechts KachelX + 1 41733 KachelY 8964 0.85950861 1.36737772 49.246216 78.344972
    Unten links KachelX 41732 KachelY + 1 8965 0.85941274 1.36735836 49.240723 78.343863
    Unten rechts KachelX + 1 41733 KachelY + 1 8965 0.85950861 1.36735836 49.246216 78.343863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36737772-1.36735836) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dl = 123.342559998737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36737772-1.36735836) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dr = 123.342559998737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85941274-0.85950861) × cos(1.36737772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202018625621023 × 6371000     		do = 123.390505841527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85941274-0.85950861) × cos(1.36735836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202037586412485 × 6371000     		du = 123.402086861061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36737772)-sin(1.36735836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202018625621023-0.202037586412485)×R²
    abs(0.85950861-0.85941274)×1.89607914620193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89607914620193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89607914620193e-05×40589641000000     		ar = 15220.0150868293m²