Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 418 / 674
↖ ↑ ↗
← S 49.382373°
W 33.046875°		 ← 25.449 km → S 49.382373°
W 32.695312°		 →
↑
25.390 km
↓
↑
25.390 km
↓
S 49.610710°
W 33.046875°		 ← 25.331 km →
644.650 km²		 S 49.610710°
W 32.695312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40869140625 y=0.65869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40869140625 × 210)
    floor (0.40869140625 × 1024)
    floor (418.5)     		tx = 418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65869140625 × 210)
    floor (0.65869140625 × 1024)
    floor (674.5)     		ty = 674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 418 / 674 ti = "10/418/674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/418/674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 418 ÷ 210
    418 ÷ 1024     		x = 0.408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 674 ÷ 210
    674 ÷ 1024     		y = 0.658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57677678} λ = -0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994019550521484))-π/2
    2×atan(0.370086117464643)-π/2
    2×0.354455664616414-π/2
    0.708911329232827-1.57079632675     		φ = -0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 418 KachelY 674 -0.57677678 -0.86188500 -33.046875 -49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 419 KachelY 674 -0.57064085 -0.86188500 -32.695312 -49.382373
    Unten links KachelX 418 KachelY + 1 675 -0.57677678 -0.86587023 -33.046875 -49.610710
    Unten rechts KachelX + 1 419 KachelY + 1 675 -0.57064085 -0.86587023 -32.695312 -49.610710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86188500--0.86587023) × R
    0.00398522999999995 × 6371000     		dl = 25389.9003299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86188500--0.86587023) × R
    0.00398522999999995 × 6371000     		dr = 25389.9003299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57677678--0.57064085) × cos(-0.86188500) × R
    0.00613593000000001 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 25449.2025344395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57677678--0.57064085) × cos(-0.86587023) × R
    0.00613593000000001 × 0.647977542231262 × 6371000     		du = 25330.7445801193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86188500)-sin(-0.86587023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.647977542231262)×R²
    abs(-0.57064085--0.57677678)×0.00303023441949768×R²
    0.00613593000000001×0.00303023441949768×6371000²
    0.00613593000000001×0.00303023441949768×40589641000000     		ar = 644649751.197944m²