Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41952 / 9184
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
E 50.449219°		 ← 125.98 m → N 78.098296°
E 50.454712°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
N 78.097163°
E 50.449219°		 ← 125.99 m →
15 868 m²		 N 78.097163°
E 50.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640144348144531 y=0.140144348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640144348144531 × 216)
    floor (0.640144348144531 × 65536)
    floor (41952.5)     		tx = 41952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140144348144531 × 216)
    floor (0.140144348144531 × 65536)
    floor (9184.5)     		ty = 9184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41952 / 9184 ti = "16/41952/9184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41952/9184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41952 ÷ 216
    41952 ÷ 65536     		x = 0.64013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9184 ÷ 216
    9184 ÷ 65536     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88050497} λ = 0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41952 KachelY 9184 0.88050497 1.36307240 50.449219 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 41953 KachelY 9184 0.88060085 1.36307240 50.454712 78.098296
    Unten links KachelX 41952 KachelY + 1 9185 0.88050497 1.36305263 50.449219 78.097163
    Unten rechts KachelX + 1 41953 KachelY + 1 9185 0.88060085 1.36305263 50.454712 78.097163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36305263) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dl = 125.954669999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36305263) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dr = 125.954669999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88050497-0.88060085) × cos(1.36307240) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 125.977911548938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88050497-0.88060085) × cos(1.36305263) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206252636806436 × 6371000     		du = 125.989728447031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36305263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206252636806436)×R²
    abs(0.88060085-0.88050497)×1.93449610587371e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93449610587371e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93449610587371e-05×40589641000000     		ar = 15868.2504739261m²