Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41952 / 9312
↖ ↑ ↗
← N 77.952414°
E 50.449219°		 ← 127.50 m → N 77.952414°
E 50.454712°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
N 77.951267°
E 50.449219°		 ← 127.51 m →
16 255 m²		 N 77.951267°
E 50.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640144348144531 y=0.142097473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640144348144531 × 216)
    floor (0.640144348144531 × 65536)
    floor (41952.5)     		tx = 41952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142097473144531 × 216)
    floor (0.142097473144531 × 65536)
    floor (9312.5)     		ty = 9312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41952 / 9312 ti = "16/41952/9312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41952/9312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41952 ÷ 216
    41952 ÷ 65536     		x = 0.64013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9312 ÷ 216
    9312 ÷ 65536     		y = 0.14208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14208984375 × 2 - 1) × π
    0.7158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24881583497607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88050497} λ = 0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24881583497607))-π/2
    2×atan(9.47650744087355)-π/2
    2×1.4656613041458-π/2
    2.9313226082916-1.57079632675     		φ = 1.36052628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36052628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.952414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41952 KachelY 9312 0.88050497 1.36052628 50.449219 77.952414
    Oben rechts KachelX + 1 41953 KachelY 9312 0.88060085 1.36052628 50.454712 77.952414
    Unten links KachelX 41952 KachelY + 1 9313 0.88050497 1.36050627 50.449219 77.951267
    Unten rechts KachelX + 1 41953 KachelY + 1 9313 0.88060085 1.36050627 50.454712 77.951267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36052628-1.36050627) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dl = 127.483710000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36052628-1.36050627) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dr = 127.483710000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88050497-0.88060085) × cos(1.36052628) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208724006355723 × 6371000     		do = 127.499368193839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88050497-0.88060085) × cos(1.36050627) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208743575585384 × 6371000     		du = 127.51132208674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36052628)-sin(1.36050627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208724006355723-0.208743575585384)×R²
    abs(0.88060085-0.88050497)×1.95692296607597e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.95692296607597e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.95692296607597e-05×40589641000000     		ar = 16254.8544438118m²