Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41968 / 9200
↖ ↑ ↗
← N 78.080156°
E 50.537109°		 ← 126.17 m → N 78.080156°
E 50.542603°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
N 78.079021°
E 50.537109°		 ← 126.18 m →
15 916 m²		 N 78.079021°
E 50.542603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640388488769531 y=0.140388488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640388488769531 × 216)
    floor (0.640388488769531 × 65536)
    floor (41968.5)     		tx = 41968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140388488769531 × 216)
    floor (0.140388488769531 × 65536)
    floor (9200.5)     		ty = 9200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41968 / 9200 ti = "16/41968/9200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41968/9200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41968 ÷ 216
    41968 ÷ 65536     		x = 0.640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9200 ÷ 216
    9200 ÷ 65536     		y = 0.140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640380859375 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88203895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140380859375 × 2 - 1) × π
    0.71923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25955370049097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88203895} λ = 0.88203895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25955370049097))-π/2
    2×atan(9.5788131930277)-π/2
    2×1.46677606486602-π/2
    2.93355212973203-1.57079632675     		φ = 1.36275580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88203895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36275580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.080156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41968 KachelY 9200 0.88203895 1.36275580 50.537109 78.080156
    Oben rechts KachelX + 1 41969 KachelY 9200 0.88213483 1.36275580 50.542603 78.080156
    Unten links KachelX 41968 KachelY + 1 9201 0.88203895 1.36273600 50.537109 78.079021
    Unten rechts KachelX + 1 41969 KachelY + 1 9201 0.88213483 1.36273600 50.542603 78.079021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36275580-1.36273600) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36275580-1.36273600) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88203895-0.88213483) × cos(1.36275580) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.206543075506861 × 6371000     		do = 126.167143357181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88203895-0.88213483) × cos(1.36273600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.20656244852904 × 6371000     		du = 126.178977396451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36275580)-sin(1.36273600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206543075506861-0.20656244852904)×R²
    abs(0.88213483-0.88203895)×1.9373022179664e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.9373022179664e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.9373022179664e-05×40589641000000     		ar = 15916.2016399268m²