Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41982 / 9218
↖ ↑ ↗
← N 78.059716°
E 50.614014°		 ← 126.37 m → N 78.059716°
E 50.619507°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 78.058580°
E 50.614014°		 ← 126.38 m →
15 966 m²		 N 78.058580°
E 50.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640602111816406 y=0.140663146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640602111816406 × 216)
    floor (0.640602111816406 × 65536)
    floor (41982.5)     		tx = 41982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140663146972656 × 216)
    floor (0.140663146972656 × 65536)
    floor (9218.5)     		ty = 9218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41982 / 9218 ti = "16/41982/9218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41982/9218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41982 ÷ 216
    41982 ÷ 65536     		x = 0.640594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9218 ÷ 216
    9218 ÷ 65536     		y = 0.140655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640594482421875 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88338119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140655517578125 × 2 - 1) × π
    0.71868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25782797210465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88338119} λ = 0.88338119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25782797210465))-π/2
    2×atan(9.56229701850777)-π/2
    2×1.46659769570073-π/2
    2.93319539140147-1.57079632675     		φ = 1.36239906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88338119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36239906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.059716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41982 KachelY 9218 0.88338119 1.36239906 50.614014 78.059716
    Oben rechts KachelX + 1 41983 KachelY 9218 0.88347706 1.36239906 50.619507 78.059716
    Unten links KachelX 41982 KachelY + 1 9219 0.88338119 1.36237923 50.614014 78.058580
    Unten rechts KachelX + 1 41983 KachelY + 1 9219 0.88347706 1.36237923 50.619507 78.058580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36239906-1.36237923) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36239906-1.36237923) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88338119-0.88347706) × cos(1.36239906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206892110153535 × 6371000     		do = 126.367170591269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88338119-0.88347706) × cos(1.36237923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206911511066296 × 6371000     		du = 126.379020431511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36239906)-sin(1.36237923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206892110153535-0.206911511066296)×R²
    abs(0.88347706-0.88338119)×1.94009127614247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94009127614247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94009127614247e-05×40589641000000     		ar = 15965.5889220381m²