Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41983 / 25601
↖ ↑ ↗
← N 36.593479°
E 50.619507°		 ← 490.39 m → N 36.593479°
E 50.625000°		 →
↑
490.44 m
↓
↑
490.44 m
↓
N 36.589068°
E 50.619507°		 ← 490.42 m →
240 515 m²		 N 36.589068°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640617370605469 y=0.390647888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640617370605469 × 216)
    floor (0.640617370605469 × 65536)
    floor (41983.5)     		tx = 41983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.390647888183594 × 216)
    floor (0.390647888183594 × 65536)
    floor (25601.5)     		ty = 25601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41983 / 25601 ti = "16/41983/25601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41983/25601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41983 ÷ 216
    41983 ÷ 65536     		x = 0.640609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25601 ÷ 216
    25601 ÷ 65536     		y = 0.390640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640609741210938 × 2 - 1) × π
    0.281219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88347706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390640258789062 × 2 - 1) × π
    0.218719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687127519153885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88347706} λ = 0.88347706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687127519153885))-π/2
    2×atan(1.98799684091048)-π/2
    2×1.10473650898196-π/2
    2.20947301796393-1.57079632675     		φ = 0.63867669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88347706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63867669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.593479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41983 KachelY 25601 0.88347706 0.63867669 50.619507 36.593479
    Oben rechts KachelX + 1 41984 KachelY 25601 0.88357293 0.63867669 50.625000 36.593479
    Unten links KachelX 41983 KachelY + 1 25602 0.88347706 0.63859971 50.619507 36.589068
    Unten rechts KachelX + 1 41984 KachelY + 1 25602 0.88357293 0.63859971 50.625000 36.589068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63867669-0.63859971) × R
    7.69800000000043e-05 × 6371000     		dl = 490.439580000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63867669-0.63859971) × R
    7.69800000000043e-05 × 6371000     		dr = 490.439580000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88347706-0.88357293) × cos(0.63867669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802885330058521 × 6371000     		do = 490.392540312147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88347706-0.88357293) × cos(0.63859971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802931218036192 × 6371000     		du = 490.420568127699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63867669)-sin(0.63859971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802885330058521-0.802931218036192)×R²
    abs(0.88357293-0.88347706)×4.58879776706889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58879776706889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58879776706889e-05×40589641000000     		ar = 240514.784599694m²