Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41984 / 5120
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E 50.625000°		 ← 85.82 m → N 81.923187°
E 50.630493°		 →
↑
85.88 m
↓
↑
85.88 m
↓
N 81.922414°
E 50.625000°		 ← 85.83 m →
7 371 m²		 N 81.922414°
E 50.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640632629394531 y=0.0781326293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640632629394531 × 216)
    floor (0.640632629394531 × 65536)
    floor (41984.5)     		tx = 41984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0781326293945312 × 216)
    floor (0.0781326293945312 × 65536)
    floor (5120.5)     		ty = 5120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41984 / 5120 ti = "16/41984/5120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41984/5120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41984 ÷ 216
    41984 ÷ 65536     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5120 ÷ 216
    5120 ÷ 65536     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41984 KachelY 5120 0.88357293 1.42982934 50.625000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 41985 KachelY 5120 0.88366881 1.42982934 50.630493 81.923187
    Unten links KachelX 41984 KachelY + 1 5121 0.88357293 1.42981586 50.625000 81.922414
    Unten rechts KachelX + 1 41985 KachelY + 1 5121 0.88366881 1.42981586 50.630493 81.922414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42981586) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dl = 85.8810800000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42981586) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dr = 85.8810800000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88366881) × cos(1.42982934) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 85.8249842080203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88366881) × cos(1.42981586) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.140513921320297 × 6371000     		du = 85.8331367990508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42981586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140513921320297)×R²
    abs(0.88366881-0.88357293)×1.33462736809919e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.33462736809919e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.33462736809919e-05×40589641000000     		ar = 7371.09241162427m²