Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41984 / 9215
↖ ↑ ↗
← N 78.063125°
E 50.625000°		 ← 126.34 m → N 78.063125°
E 50.630493°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 78.061989°
E 50.625000°		 ← 126.36 m →
15 963 m²		 N 78.061989°
E 50.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640632629394531 y=0.140617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640632629394531 × 216)
    floor (0.640632629394531 × 65536)
    floor (41984.5)     		tx = 41984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140617370605469 × 216)
    floor (0.140617370605469 × 65536)
    floor (9215.5)     		ty = 9215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41984 / 9215 ti = "16/41984/9215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41984/9215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41984 ÷ 216
    41984 ÷ 65536     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9215 ÷ 216
    9215 ÷ 65536     		y = 0.140609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140609741210938 × 2 - 1) × π
    0.718780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25811559350237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25811559350237))-π/2
    2×atan(9.56504773530519)-π/2
    2×1.46662744481315-π/2
    2.93325488962629-1.57079632675     		φ = 1.36245856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36245856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.063125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41984 KachelY 9215 0.88357293 1.36245856 50.625000 78.063125
    Oben rechts KachelX + 1 41985 KachelY 9215 0.88366881 1.36245856 50.630493 78.063125
    Unten links KachelX 41984 KachelY + 1 9216 0.88357293 1.36243873 50.625000 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 41985 KachelY + 1 9216 0.88366881 1.36243873 50.630493 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36245856-1.36243873) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36245856-1.36243873) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88366881) × cos(1.36245856) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206833897143385 × 6371000     		do = 126.344792184122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88366881) × cos(1.36243873) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 126.356643409496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36245856)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206833897143385-0.206853298300232)×R²
    abs(0.88366881-0.88357293)×1.94011568474262e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94011568474262e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94011568474262e-05×40589641000000     		ar = 15962.7617905729m²