Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41985 / 58367
↖ ↑ ↗
← S 80.177777°
E 50.630493°		 ← 104.20 m → S 80.177777°
E 50.635986°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
S 80.178713°
E 50.630493°		 ← 104.19 m →
10 853 m²		 S 80.178713°
E 50.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640647888183594 y=0.890617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640647888183594 × 216)
    floor (0.640647888183594 × 65536)
    floor (41985.5)     		tx = 41985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890617370605469 × 216)
    floor (0.890617370605469 × 65536)
    floor (58367.5)     		ty = 58367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41985 / 58367 ti = "16/41985/58367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41985/58367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41985 ÷ 216
    41985 ÷ 65536     		x = 0.640640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58367 ÷ 216
    58367 ÷ 65536     		y = 0.890609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640640258789062 × 2 - 1) × π
    0.281280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88366881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.781219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.45427338674763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88366881} λ = 0.88366881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45427338674763))-π/2
    2×atan(0.0859256074488148)-π/2
    2×0.0857150703932054-π/2
    0.171430140786411-1.57079632675     		φ = -1.39936619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88366881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39936619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.177777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41985 KachelY 58367 0.88366881 -1.39936619 50.630493 -80.177777
    Oben rechts KachelX + 1 41986 KachelY 58367 0.88376468 -1.39936619 50.635986 -80.177777
    Unten links KachelX 41985 KachelY + 1 58368 0.88366881 -1.39938254 50.630493 -80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 41986 KachelY + 1 58368 0.88376468 -1.39938254 50.635986 -80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39936619--1.39938254) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dl = 104.165849999282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39936619--1.39938254) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dr = 104.165849999282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88366881-0.88376468) × cos(-1.39936619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170591696612603 × 6371000     		do = 104.195321954526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88366881-0.88376468) × cos(-1.39938254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 104.185481942864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39936619)-sin(-1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170591696612603-0.170575586251288)×R²
    abs(0.88376468-0.88366881)×1.61103613154634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61103613154634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61103613154634e-05×40589641000000     		ar = 10853.0817806456m²