Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41985 / 58369
↖ ↑ ↗
← S 80.179650°
E 50.630493°		 ← 104.18 m → S 80.179650°
E 50.635986°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
S 80.180587°
E 50.630493°		 ← 104.17 m →
10 851 m²		 S 80.180587°
E 50.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640647888183594 y=0.890647888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640647888183594 × 216)
    floor (0.640647888183594 × 65536)
    floor (41985.5)     		tx = 41985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890647888183594 × 216)
    floor (0.890647888183594 × 65536)
    floor (58369.5)     		ty = 58369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41985 / 58369 ti = "16/41985/58369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41985/58369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41985 ÷ 216
    41985 ÷ 65536     		x = 0.640640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58369 ÷ 216
    58369 ÷ 65536     		y = 0.890640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640640258789062 × 2 - 1) × π
    0.281280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88366881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.781280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45446513434612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88366881} λ = 0.88366881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45446513434612))-π/2
    2×atan(0.085909132999457)-π/2
    2×0.0856987166637186-π/2
    0.171397433327437-1.57079632675     		φ = -1.39939889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88366881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39939889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.179650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41985 KachelY 58369 0.88366881 -1.39939889 50.630493 -80.179650
    Oben rechts KachelX + 1 41986 KachelY 58369 0.88376468 -1.39939889 50.635986 -80.179650
    Unten links KachelX 41985 KachelY + 1 58370 0.88366881 -1.39941524 50.630493 -80.180587
    Unten rechts KachelX + 1 41986 KachelY + 1 58370 0.88376468 -1.39941524 50.635986 -80.180587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39939889--1.39941524) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dl = 104.165849999282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39939889--1.39941524) × R
    1.63499999998873e-05 × 6371000     		dr = 104.165849999282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88366881-0.88376468) × cos(-1.39939889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170559475844373 × 6371000     		do = 104.175641903351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88366881-0.88376468) × cos(-1.39941524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170543365391865 × 6371000     		du = 104.16580183599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39939889)-sin(-1.39941524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170559475844373-0.170543365391865)×R²
    abs(0.88376468-0.88366881)×1.61104525085443e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61104525085443e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61104525085443e-05×40589641000000     		ar = 10851.0317890891m²