Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41985 / 9219
↖ ↑ ↗
← N 78.058580°
E 50.630493°		 ← 126.38 m → N 78.058580°
E 50.635986°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 78.057443°
E 50.630493°		 ← 126.39 m →
15 975 m²		 N 78.057443°
E 50.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640647888183594 y=0.140678405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640647888183594 × 216)
    floor (0.640647888183594 × 65536)
    floor (41985.5)     		tx = 41985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140678405761719 × 216)
    floor (0.140678405761719 × 65536)
    floor (9219.5)     		ty = 9219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41985 / 9219 ti = "16/41985/9219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41985/9219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41985 ÷ 216
    41985 ÷ 65536     		x = 0.640640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9219 ÷ 216
    9219 ÷ 65536     		y = 0.140670776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640640258789062 × 2 - 1) × π
    0.281280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88366881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140670776367188 × 2 - 1) × π
    0.718658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2577320983054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88366881} λ = 0.88366881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2577320983054))-π/2
    2×atan(9.56138028870902)-π/2
    2×1.46658777746948-π/2
    2.93317555493896-1.57079632675     		φ = 1.36237923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88366881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36237923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.058580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41985 KachelY 9219 0.88366881 1.36237923 50.630493 78.058580
    Oben rechts KachelX + 1 41986 KachelY 9219 0.88376468 1.36237923 50.635986 78.058580
    Unten links KachelX 41985 KachelY + 1 9220 0.88366881 1.36235939 50.630493 78.057443
    Unten rechts KachelX + 1 41986 KachelY + 1 9220 0.88376468 1.36235939 50.635986 78.057443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36237923-1.36235939) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36237923-1.36235939) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88366881-0.88376468) × cos(1.36237923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206911511066296 × 6371000     		do = 126.379020431511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88366881-0.88376468) × cos(1.36235939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20693092168125 × 6371000     		du = 126.390876197732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36237923)-sin(1.36235939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206911511066296-0.20693092168125)×R²
    abs(0.88376468-0.88366881)×1.94106149533357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94106149533357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94106149533357e-05×40589641000000     		ar = 15975.1383537269m²