Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41988 / 7172
↖ ↑ ↗
← N 80.174965°
E 50.646973°		 ← 104.22 m → N 80.174965°
E 50.652466°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
N 80.174027°
E 50.646973°		 ← 104.23 m →
10 864 m²		 N 80.174027°
E 50.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640693664550781 y=0.109443664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640693664550781 × 216)
    floor (0.640693664550781 × 65536)
    floor (41988.5)     		tx = 41988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109443664550781 × 216)
    floor (0.109443664550781 × 65536)
    floor (7172.5)     		ty = 7172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41988 / 7172 ti = "16/41988/7172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41988/7172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41988 ÷ 216
    41988 ÷ 65536     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7172 ÷ 216
    7172 ÷ 65536     		y = 0.10943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10943603515625 × 2 - 1) × π
    0.7811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45398576534991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45398576534991))-π/2
    2×atan(11.6346273205793)-π/2
    2×1.48505672001332-π/2
    2.97011344002664-1.57079632675     		φ = 1.39931711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39931711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.174965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41988 KachelY 7172 0.88395643 1.39931711 50.646973 80.174965
    Oben rechts KachelX + 1 41989 KachelY 7172 0.88405230 1.39931711 50.652466 80.174965
    Unten links KachelX 41988 KachelY + 1 7173 0.88395643 1.39930075 50.646973 80.174027
    Unten rechts KachelX + 1 41989 KachelY + 1 7173 0.88405230 1.39930075 50.652466 80.174027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39931711-1.39930075) × R
    1.63599999998265e-05 × 6371000     		dl = 104.229559998895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39931711-1.39930075) × R
    1.63599999998265e-05 × 6371000     		dr = 104.229559998895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88405230) × cos(1.39931711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170640056982918 × 6371000     		do = 104.224859877267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88405230) × cos(1.39930075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170656177015018 × 6371000     		du = 104.234705795726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39931711)-sin(1.39930075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170640056982918-0.170656177015018)×R²
    abs(0.88405230-0.88395643)×1.61200321002752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61200321002752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61200321002752e-05×40589641000000     		ar = 10863.8244042421m²