Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41990 / 9214
↖ ↑ ↗
← N 78.064261°
E 50.657959°		 ← 126.32 m → N 78.064261°
E 50.663452°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
N 78.063125°
E 50.657959°		 ← 126.33 m →
15 960 m²		 N 78.063125°
E 50.663452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640724182128906 y=0.140602111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640724182128906 × 216)
    floor (0.640724182128906 × 65536)
    floor (41990.5)     		tx = 41990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140602111816406 × 216)
    floor (0.140602111816406 × 65536)
    floor (9214.5)     		ty = 9214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41990 / 9214 ti = "16/41990/9214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41990/9214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41990 ÷ 216
    41990 ÷ 65536     		x = 0.640716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9214 ÷ 216
    9214 ÷ 65536     		y = 0.140594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640716552734375 × 2 - 1) × π
    0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140594482421875 × 2 - 1) × π
    0.71881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25821146730161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88414818} λ = 0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25821146730161))-π/2
    2×atan(9.56596481673282)-π/2
    2×1.46663735932378-π/2
    2.93327471864756-1.57079632675     		φ = 1.36247839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36247839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.064261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41990 KachelY 9214 0.88414818 1.36247839 50.657959 78.064261
    Oben rechts KachelX + 1 41991 KachelY 9214 0.88424405 1.36247839 50.663452 78.064261
    Unten links KachelX 41990 KachelY + 1 9215 0.88414818 1.36245856 50.657959 78.063125
    Unten rechts KachelX + 1 41991 KachelY + 1 9215 0.88424405 1.36245856 50.663452 78.063125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36247839-1.36245856) × R
    1.98299999998319e-05 × 6371000     		dl = 126.336929998929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36247839-1.36245856) × R
    1.98299999998319e-05 × 6371000     		dr = 126.336929998929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88414818-0.88424405) × cos(1.36247839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206814495905205 × 6371000     		do = 126.319764757611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88414818-0.88424405) × cos(1.36245856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206833897143385 × 6371000     		du = 126.331614796615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36247839)-sin(1.36245856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206814495905205-0.206833897143385)×R²
    abs(0.88424405-0.88414818)×1.94012381802555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94012381802555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94012381802555e-05×40589641000000     		ar = 15959.5998267347m²