Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41991 / 9223
↖ ↑ ↗
← N 78.054032°
E 50.663452°		 ← 126.43 m → N 78.054032°
E 50.668945°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 78.052896°
E 50.663452°		 ← 126.44 m →
15 981 m²		 N 78.052896°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640739440917969 y=0.140739440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640739440917969 × 216)
    floor (0.640739440917969 × 65536)
    floor (41991.5)     		tx = 41991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140739440917969 × 216)
    floor (0.140739440917969 × 65536)
    floor (9223.5)     		ty = 9223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41991 / 9223 ti = "16/41991/9223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41991/9223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41991 ÷ 216
    41991 ÷ 65536     		x = 0.640731811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9223 ÷ 216
    9223 ÷ 65536     		y = 0.140731811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640731811523438 × 2 - 1) × π
    0.281463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88424405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140731811523438 × 2 - 1) × π
    0.718536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25734860310844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88424405} λ = 0.88424405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25734860310844))-π/2
    2×atan(9.55771424829137)-π/2
    2×1.46654809523998-π/2
    2.93309619047996-1.57079632675     		φ = 1.36229986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88424405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.663452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36229986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.054032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41991 KachelY 9223 0.88424405 1.36229986 50.663452 78.054032
    Oben rechts KachelX + 1 41992 KachelY 9223 0.88433992 1.36229986 50.668945 78.054032
    Unten links KachelX 41991 KachelY + 1 9224 0.88424405 1.36228002 50.663452 78.052896
    Unten rechts KachelX + 1 41992 KachelY + 1 9224 0.88433992 1.36228002 50.668945 78.052896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36229986-1.36228002) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36229986-1.36228002) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88424405-0.88433992) × cos(1.36229986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206989162820792 × 6371000     		do = 126.426449173476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88424405-0.88433992) × cos(1.36228002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207008573109845 × 6371000     		du = 126.438304740641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36229986)-sin(1.36228002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206989162820792-0.207008573109845)×R²
    abs(0.88433992-0.88424405)×1.94102890531678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94102890531678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94102890531678e-05×40589641000000     		ar = 15981.133364739m²