Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41992 / 41992
↖ ↑ ↗
← S 45.120053°
E 50.668945°		 ← 431.03 m → S 45.120053°
E 50.674439°		 →
↑
431 m
↓
↑
431 m
↓
S 45.123929°
E 50.668945°		 ← 431 m →
185 767 m²		 S 45.123929°
E 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640754699707031 y=0.640754699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640754699707031 × 216)
    floor (0.640754699707031 × 65536)
    floor (41992.5)     		tx = 41992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640754699707031 × 216)
    floor (0.640754699707031 × 65536)
    floor (41992.5)     		ty = 41992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41992 / 41992 ti = "16/41992/41992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41992/41992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41992 ÷ 216
    41992 ÷ 65536     		x = 0.6407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41992 ÷ 216
    41992 ÷ 65536     		y = 0.6407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.884339924190796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88433992} λ = 0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884339924190796))-π/2
    2×atan(0.41298668585053)-π/2
    2×0.391651423027101-π/2
    0.783302846054201-1.57079632675     		φ = -0.78749348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78749348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.120053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41992 KachelY 41992 0.88433992 -0.78749348 50.668945 -45.120053
    Oben rechts KachelX + 1 41993 KachelY 41992 0.88443580 -0.78749348 50.674439 -45.120053
    Unten links KachelX 41992 KachelY + 1 41993 0.88433992 -0.78756113 50.668945 -45.123929
    Unten rechts KachelX + 1 41993 KachelY + 1 41993 0.88443580 -0.78756113 50.674439 -45.123929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78749348--0.78756113) × R
    6.76500000000857e-05 × 6371000     		dl = 430.998150000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78749348--0.78756113) × R
    6.76500000000857e-05 × 6371000     		dr = 430.998150000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88433992-0.88443580) × cos(-0.78749348) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705623617469134 × 6371000     		do = 431.031231054191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88433992-0.88443580) × cos(-0.78756113) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705575679954763 × 6371000     		du = 431.00194835259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78749348)-sin(-0.78756113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705623617469134-0.705575679954763)×R²
    abs(0.88443580-0.88433992)×4.79375143715988e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79375143715988e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79375143715988e-05×40589641000000     		ar = 185767.352852715m²