Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41992 / 9208
↖ ↑ ↗
← N 78.071076°
E 50.668945°		 ← 126.26 m → N 78.071076°
E 50.674439°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
N 78.069941°
E 50.668945°		 ← 126.27 m →
15 944 m²		 N 78.069941°
E 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640754699707031 y=0.140510559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640754699707031 × 216)
    floor (0.640754699707031 × 65536)
    floor (41992.5)     		tx = 41992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140510559082031 × 216)
    floor (0.140510559082031 × 65536)
    floor (9208.5)     		ty = 9208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41992 / 9208 ti = "16/41992/9208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41992/9208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41992 ÷ 216
    41992 ÷ 65536     		x = 0.6407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9208 ÷ 216
    9208 ÷ 65536     		y = 0.1405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1405029296875 × 2 - 1) × π
    0.718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25878671009705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88433992} λ = 0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25878671009705))-π/2
    2×atan(9.57146915208793)-π/2
    2×1.46669682686158-π/2
    2.93339365372316-1.57079632675     		φ = 1.36259733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36259733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.071076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41992 KachelY 9208 0.88433992 1.36259733 50.668945 78.071076
    Oben rechts KachelX + 1 41993 KachelY 9208 0.88443580 1.36259733 50.674439 78.071076
    Unten links KachelX 41992 KachelY + 1 9209 0.88433992 1.36257751 50.668945 78.069941
    Unten rechts KachelX + 1 41993 KachelY + 1 9209 0.88443580 1.36257751 50.674439 78.069941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36259733-1.36257751) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dl = 126.273220000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36259733-1.36257751) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dr = 126.273220000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88433992-0.88443580) × cos(1.36259733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.206698125904746 × 6371000     		do = 126.261856122204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88433992-0.88443580) × cos(1.36257751) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.206717517846594 × 6371000     		du = 126.273701718582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36259733)-sin(1.36257751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206698125904746-0.206717517846594)×R²
    abs(0.88443580-0.88433992)×1.93919418480792e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.93919418480792e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.93919418480792e-05×40589641000000     		ar = 15944.2390269985m²