Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41992 / 9224
↖ ↑ ↗
← N 78.052896°
E 50.668945°		 ← 126.45 m → N 78.052896°
E 50.674439°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
N 78.051758°
E 50.668945°		 ← 126.46 m →
15 992 m²		 N 78.051758°
E 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640754699707031 y=0.140754699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640754699707031 × 216)
    floor (0.640754699707031 × 65536)
    floor (41992.5)     		tx = 41992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140754699707031 × 216)
    floor (0.140754699707031 × 65536)
    floor (9224.5)     		ty = 9224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41992 / 9224 ti = "16/41992/9224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41992/9224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41992 ÷ 216
    41992 ÷ 65536     		x = 0.6407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9224 ÷ 216
    9224 ÷ 65536     		y = 0.1407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    0.281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88433992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    0.718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2572527293092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88433992} λ = 0.88433992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2572527293092))-π/2
    2×atan(9.55679795783916)-π/2
    2×1.46653817235607-π/2
    2.93307634471214-1.57079632675     		φ = 1.36228002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88433992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36228002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.052896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41992 KachelY 9224 0.88433992 1.36228002 50.668945 78.052896
    Oben rechts KachelX + 1 41993 KachelY 9224 0.88443580 1.36228002 50.674439 78.052896
    Unten links KachelX 41992 KachelY + 1 9225 0.88433992 1.36226017 50.668945 78.051758
    Unten rechts KachelX + 1 41993 KachelY + 1 9225 0.88443580 1.36226017 50.674439 78.051758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36228002-1.36226017) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36228002-1.36226017) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88433992-0.88443580) × cos(1.36228002) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207008573109845 × 6371000     		do = 126.4514932569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88433992-0.88443580) × cos(1.36226017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207027993100764 × 6371000     		du = 126.463355987095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36228002)-sin(1.36226017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207008573109845-0.207027993100764)×R²
    abs(0.88443580-0.88433992)×1.94199909194781e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.94199909194781e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.94199909194781e-05×40589641000000     		ar = 15992.3560078053m²