Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41994 / 9226
↖ ↑ ↗
← N 78.050621°
E 50.679932°		 ← 126.48 m → N 78.050621°
E 50.685425°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
N 78.049484°
E 50.679932°		 ← 126.49 m →
15 995 m²		 N 78.049484°
E 50.685425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640785217285156 y=0.140785217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640785217285156 × 216)
    floor (0.640785217285156 × 65536)
    floor (41994.5)     		tx = 41994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140785217285156 × 216)
    floor (0.140785217285156 × 65536)
    floor (9226.5)     		ty = 9226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41994 / 9226 ti = "16/41994/9226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41994/9226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41994 ÷ 216
    41994 ÷ 65536     		x = 0.640777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9226 ÷ 216
    9226 ÷ 65536     		y = 0.140777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640777587890625 × 2 - 1) × π
    0.28155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88453167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140777587890625 × 2 - 1) × π
    0.71844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25706098171072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88453167} λ = 0.88453167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25706098171072))-π/2
    2×atan(9.55496564045843)-π/2
    2×1.46651832379582-π/2
    2.93303664759165-1.57079632675     		φ = 1.36224032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88453167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36224032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.050621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41994 KachelY 9226 0.88453167 1.36224032 50.679932 78.050621
    Oben rechts KachelX + 1 41995 KachelY 9226 0.88462755 1.36224032 50.685425 78.050621
    Unten links KachelX 41994 KachelY + 1 9227 0.88453167 1.36222047 50.679932 78.049484
    Unten rechts KachelX + 1 41995 KachelY + 1 9227 0.88462755 1.36222047 50.685425 78.049484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36224032-1.36222047) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36224032-1.36222047) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88453167-0.88462755) × cos(1.36224032) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.20704741301011 × 6371000     		do = 126.475218667461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88453167-0.88462755) × cos(1.36222047) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207066832837875 × 6371000     		du = 126.487081297992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36224032)-sin(1.36222047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20704741301011-0.207066832837875)×R²
    abs(0.88462755-0.88453167)×1.94198277644331e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.94198277644331e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.94198277644331e-05×40589641000000     		ar = 15995.3564205514m²