Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 42 / 10
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 56.250000°		 ← 142.393 km → N 76.840817°
E 61.875000°		 →
↑
149.408 km
↓
↑
149.408 km
↓
N 75.497157°
E 56.250000°		 ← 156.636 km →
22 339.7 km²		 N 75.497157°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6640625 y=0.1640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6640625 × 26)
    floor (0.6640625 × 64)
    floor (42.5)     		tx = 42
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1640625 × 26)
    floor (0.1640625 × 64)
    floor (10.5)     		ty = 10
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 42 / 10 ti = "6/42/10"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/42/10.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42 ÷ 26
    42 ÷ 64     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10 ÷ 26
    10 ÷ 64     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42 KachelY 10 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 43 KachelY 10 1.07992247 1.34112525 61.875000 76.840817
    Unten links KachelX 42 KachelY + 1 11 0.98174770 1.31767397 56.250000 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 43 KachelY + 1 11 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.31767397) × R
    0.02345128 × 6371000     		dl = 149408.10488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.31767397) × R
    0.02345128 × 6371000     		dr = 149408.10488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.07992247) × cos(1.34112525) × R
    0.0981747700000001 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 142393.112297533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.07992247) × cos(1.31767397) × R
    0.0981747700000001 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 156635.590869828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.250428038638996)×R²
    abs(1.07992247-0.98174770)×0.0227707889018772×R²
    0.0981747700000001×0.0227707889018772×6371000²
    0.0981747700000001×0.0227707889018772×40589641000000     		ar = 22339679764.1048m²