Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 42 / 26
↖ ↑ ↗
← N 31.952162°
E 56.250000°		 ← 530.706 km → N 31.952162°
E 61.875000°		 →
↑
544.081 km
↓
↑
544.081 km
↓
N 27.059126°
E 56.250000°		 ← 557.006 km →
296 082 km²		 N 27.059126°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6640625 y=0.4140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6640625 × 26)
    floor (0.6640625 × 64)
    floor (42.5)     		tx = 42
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4140625 × 26)
    floor (0.4140625 × 64)
    floor (26.5)     		ty = 26
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 42 / 26 ti = "6/42/26"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/42/26.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42 ÷ 26
    42 ÷ 64     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26 ÷ 26
    26 ÷ 64     		y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675     		φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42 KachelY 26 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 43 KachelY 26 1.07992247 0.55767043 61.875000 31.952162
    Unten links KachelX 42 KachelY + 1 27 0.98174770 0.47227084 56.250000 27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 43 KachelY + 1 27 1.07992247 0.47227084 61.875000 27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55767043-0.47227084) × R
    0.08539959 × 6371000     		dl = 544080.78789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55767043-0.47227084) × R
    0.08539959 × 6371000     		dr = 544080.78789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.07992247) × cos(0.55767043) × R
    0.0981747700000001 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 530706.432896201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.07992247) × cos(0.47227084) × R
    0.0981747700000001 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 557005.826297247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.890537558006442)×R²
    abs(1.07992247-0.98174770)×0.0420473116629837×R²
    0.0981747700000001×0.0420473116629837×6371000²
    0.0981747700000001×0.0420473116629837×40589641000000     		ar = 296081639202.427m²