Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 420 / 36
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E115.312500°		 ← 10.464 km → N 82.308893°
E116.015625°		 →
↑
10.527 km
↓
↑
10.527 km
↓
N 82.214217°
E115.312500°		 ← 10.592 km →
110.828 km²		 N 82.214217°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8212890625 y=0.0712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8212890625 × 29)
    floor (0.8212890625 × 512)
    floor (420.5)     		tx = 420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0712890625 × 29)
    floor (0.0712890625 × 512)
    floor (36.5)     		ty = 36
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 420 / 36 ti = "9/420/36"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/420/36.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 420 ÷ 29
    420 ÷ 512     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36 ÷ 29
    36 ÷ 512     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 420 KachelY 36 2.01258279 1.43656118 115.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 421 KachelY 36 2.02485464 1.43656118 116.015625 82.308893
    Unten links KachelX 420 KachelY + 1 37 2.01258279 1.43490878 115.312500 82.214217
    Unten rechts KachelX + 1 421 KachelY + 1 37 2.02485464 1.43490878 116.015625 82.214217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43490878) × R
    0.0016524 × 6371000     		dl = 10527.4404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43490878) × R
    0.0016524 × 6371000     		dr = 10527.4404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.02485464) × cos(1.43656118) × R
    0.0122718499999999 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 10463.5447727511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.02485464) × cos(1.43490878) × R
    0.0122718499999999 × 0.135469729181416 × 6371000     		du = 10591.559393066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43490878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.135469729181416)×R²
    abs(2.02485464-2.01258279)×0.00163735152697855×R²
    0.0122718499999999×0.00163735152697855×6371000²
    0.0122718499999999×0.00163735152697855×40589641000000     		ar = 110828202.328081m²