Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 420 / 740
↖ ↑ ↗
← S 62.267923°
W 32.343750°		 ← 18.191 km → S 62.267923°
W 31.992188°		 →
↑
18.142 km
↓
↑
18.142 km
↓
S 62.431074°
W 32.343750°		 ← 18.092 km →
329.119 km²		 S 62.431074°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41064453125 y=0.72314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41064453125 × 210)
    floor (0.41064453125 × 1024)
    floor (420.5)     		tx = 420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72314453125 × 210)
    floor (0.72314453125 × 1024)
    floor (740.5)     		ty = 740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 420 / 740 ti = "10/420/740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/420/740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 420 ÷ 210
    420 ÷ 1024     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 740 ÷ 210
    740 ÷ 1024     		y = 0.72265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72265625 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39899047851172))-π/2
    2×atan(0.246846034575576)-π/2
    2×0.242008029276541-π/2
    0.484016058553082-1.57079632675     		φ = -1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 420 KachelY 740 -0.56450493 -1.08678027 -32.343750 -62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 421 KachelY 740 -0.55836901 -1.08678027 -31.992188 -62.267923
    Unten links KachelX 420 KachelY + 1 741 -0.56450493 -1.08962780 -32.343750 -62.431074
    Unten rechts KachelX + 1 421 KachelY + 1 741 -0.55836901 -1.08962780 -31.992188 -62.431074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08678027--1.08962780) × R
    0.00284752999999993 × 6371000     		dl = 18141.6136299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08678027--1.08962780) × R
    0.00284752999999993 × 6371000     		dr = 18141.6136299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.55836901) × cos(-1.08678027) × R
    0.00613591999999996 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 18190.954981988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.55836901) × cos(-1.08962780) × R
    0.00613591999999996 × 0.462815337370534 × 6371000     		du = 18092.3523245615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08678027)-sin(-1.08962780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.462815337370534)×R²
    abs(-0.55836901--0.56450493)×0.00252232663524599×R²
    0.00613591999999996×0.00252232663524599×6371000²
    0.00613591999999996×0.00252232663524599×40589641000000     		ar = 329119093.573512m²