Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42001 / 9233
↖ ↑ ↗
← N 78.042657°
E 50.718384°		 ← 126.55 m → N 78.042657°
E 50.723877°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 78.041519°
E 50.718384°		 ← 126.56 m →
16 012 m²		 N 78.041519°
E 50.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640892028808594 y=0.140892028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640892028808594 × 216)
    floor (0.640892028808594 × 65536)
    floor (42001.5)     		tx = 42001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140892028808594 × 216)
    floor (0.140892028808594 × 65536)
    floor (9233.5)     		ty = 9233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42001 / 9233 ti = "16/42001/9233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42001/9233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42001 ÷ 216
    42001 ÷ 65536     		x = 0.640884399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9233 ÷ 216
    9233 ÷ 65536     		y = 0.140884399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640884399414062 × 2 - 1) × π
    0.281768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88520279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140884399414062 × 2 - 1) × π
    0.718231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25638986511604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88520279} λ = 0.88520279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25638986511604))-π/2
    2×atan(9.54855529574047)-π/2
    2×1.46644882450571-π/2
    2.93289764901142-1.57079632675     		φ = 1.36210132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88520279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.718384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36210132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.042657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42001 KachelY 9233 0.88520279 1.36210132 50.718384 78.042657
    Oben rechts KachelX + 1 42002 KachelY 9233 0.88529866 1.36210132 50.723877 78.042657
    Unten links KachelX 42001 KachelY + 1 9234 0.88520279 1.36208146 50.718384 78.041519
    Unten rechts KachelX + 1 42002 KachelY + 1 9234 0.88529866 1.36208146 50.723877 78.041519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36210132-1.36208146) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36210132-1.36208146) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88520279-0.88529866) × cos(1.36210132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207183399005931 × 6371000     		do = 126.54508625985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88520279-0.88529866) × cos(1.36208146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207202828045187 × 6371000     		du = 126.55695327941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36210132)-sin(1.36208146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207183399005931-0.207202828045187)×R²
    abs(0.88529866-0.88520279)×1.9429039255392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9429039255392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9429039255392e-05×40589641000000     		ar = 16012.2550230714m²