Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42004 / 9236
↖ ↑ ↗
← N 78.039242°
E 50.734863°		 ← 126.58 m → N 78.039242°
E 50.740356°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 78.038104°
E 50.734863°		 ← 126.59 m →
16 025 m²		 N 78.038104°
E 50.740356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640937805175781 y=0.140937805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640937805175781 × 216)
    floor (0.640937805175781 × 65536)
    floor (42004.5)     		tx = 42004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140937805175781 × 216)
    floor (0.140937805175781 × 65536)
    floor (9236.5)     		ty = 9236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42004 / 9236 ti = "16/42004/9236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42004/9236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42004 ÷ 216
    42004 ÷ 65536     		x = 0.64093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9236 ÷ 216
    9236 ÷ 65536     		y = 0.14093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64093017578125 × 2 - 1) × π
    0.2818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88549041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14093017578125 × 2 - 1) × π
    0.7181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25610224371832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88549041} λ = 0.88549041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25610224371832))-π/2
    2×atan(9.54580932183945)-π/2
    2×1.46641902512435-π/2
    2.9328380502487-1.57079632675     		φ = 1.36204172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88549041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36204172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.039242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42004 KachelY 9236 0.88549041 1.36204172 50.734863 78.039242
    Oben rechts KachelX + 1 42005 KachelY 9236 0.88558628 1.36204172 50.740356 78.039242
    Unten links KachelX 42004 KachelY + 1 9237 0.88549041 1.36202185 50.734863 78.038104
    Unten rechts KachelX + 1 42005 KachelY + 1 9237 0.88558628 1.36202185 50.740356 78.038104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36204172-1.36202185) × R
    1.98699999998109e-05 × 6371000     		dl = 126.591769998795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36204172-1.36202185) × R
    1.98699999998109e-05 × 6371000     		dr = 126.591769998795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88549041-0.88558628) × cos(1.36204172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207241705444311 × 6371000     		do = 126.580699119325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88549041-0.88558628) × cos(1.36202185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207261144021142 × 6371000     		du = 126.59257196432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36204172)-sin(1.36202185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207241705444311-0.207261144021142)×R²
    abs(0.88558628-0.88549041)×1.94385768317595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94385768317595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94385768317595e-05×40589641000000     		ar = 16024.8262521281m²