Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42008 / 9240
↖ ↑ ↗
← N 78.034688°
E 50.756836°		 ← 126.64 m → N 78.034688°
E 50.762329°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 78.033549°
E 50.756836°		 ← 126.65 m →
16 041 m²		 N 78.033549°
E 50.762329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640998840332031 y=0.140998840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640998840332031 × 216)
    floor (0.640998840332031 × 65536)
    floor (42008.5)     		tx = 42008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140998840332031 × 216)
    floor (0.140998840332031 × 65536)
    floor (9240.5)     		ty = 9240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42008 / 9240 ti = "16/42008/9240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42008/9240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42008 ÷ 216
    42008 ÷ 65536     		x = 0.6409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9240 ÷ 216
    9240 ÷ 65536     		y = 0.1409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6409912109375 × 2 - 1) × π
    0.281982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88587390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    0.718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25571874852136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88587390} λ = 0.88587390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25571874852136))-π/2
    2×atan(9.54214925166795)-π/2
    2×1.46637927957052-π/2
    2.93275855914104-1.57079632675     		φ = 1.36196223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88587390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36196223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.034688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42008 KachelY 9240 0.88587390 1.36196223 50.756836 78.034688
    Oben rechts KachelX + 1 42009 KachelY 9240 0.88596978 1.36196223 50.762329 78.034688
    Unten links KachelX 42008 KachelY + 1 9241 0.88587390 1.36194235 50.756836 78.033549
    Unten rechts KachelX + 1 42009 KachelY + 1 9241 0.88596978 1.36194235 50.762329 78.033549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36196223-1.36194235) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36196223-1.36194235) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88587390-0.88596978) × cos(1.36196223) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207319469043359 × 6371000     		do = 126.641404498014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88587390-0.88596978) × cos(1.36194235) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207338917075475 × 6371000     		du = 126.653284357215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36196223)-sin(1.36194235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207319469043359-0.207338917075475)×R²
    abs(0.88596978-0.88587390)×1.94480321155932e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.94480321155932e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.94480321155932e-05×40589641000000     		ar = 16040.5801997097m²