Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42015 / 9249
↖ ↑ ↗
← N 78.024434°
E 50.795288°		 ← 126.75 m → N 78.024434°
E 50.800782°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 78.023294°
E 50.795288°		 ← 126.76 m →
16 070 m²		 N 78.023294°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641105651855469 y=0.141136169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641105651855469 × 216)
    floor (0.641105651855469 × 65536)
    floor (42015.5)     		tx = 42015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141136169433594 × 216)
    floor (0.141136169433594 × 65536)
    floor (9249.5)     		ty = 9249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42015 / 9249 ti = "16/42015/9249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42015/9249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42015 ÷ 216
    42015 ÷ 65536     		x = 0.641098022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9249 ÷ 216
    9249 ÷ 65536     		y = 0.141128540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641098022460938 × 2 - 1) × π
    0.282196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88654502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141128540039062 × 2 - 1) × π
    0.717742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2548558843282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88654502} λ = 0.88654502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2548558843282))-π/2
    2×atan(9.53391922396163)-π/2
    2×1.46628979753746-π/2
    2.93257959507492-1.57079632675     		φ = 1.36178327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88654502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36178327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.024434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42015 KachelY 9249 0.88654502 1.36178327 50.795288 78.024434
    Oben rechts KachelX + 1 42016 KachelY 9249 0.88664090 1.36178327 50.800782 78.024434
    Unten links KachelX 42015 KachelY + 1 9250 0.88654502 1.36176337 50.795288 78.023294
    Unten rechts KachelX + 1 42016 KachelY + 1 9250 0.88664090 1.36176337 50.800782 78.023294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36178327-1.36176337) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36178327-1.36176337) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88654502-0.88664090) × cos(1.36178327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207494537511242 × 6371000     		do = 126.748345330575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88654502-0.88664090) × cos(1.36176337) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207514004370067 × 6371000     		du = 126.760236690099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36178327)-sin(1.36176337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207494537511242-0.207514004370067)×R²
    abs(0.88664090-0.88654502)×1.94668588250624e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94668588250624e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94668588250624e-05×40589641000000     		ar = 16070.2766021719m²