Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42016 / 7200
↖ ↑ ↗
← N 80.148684°
E 50.800782°		 ← 104.50 m → N 80.148684°
E 50.806274°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
N 80.147745°
E 50.800782°		 ← 104.51 m →
10 919 m²		 N 80.147745°
E 50.806274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641120910644531 y=0.109870910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641120910644531 × 216)
    floor (0.641120910644531 × 65536)
    floor (42016.5)     		tx = 42016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109870910644531 × 216)
    floor (0.109870910644531 × 65536)
    floor (7200.5)     		ty = 7200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42016 / 7200 ti = "16/42016/7200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42016/7200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42016 ÷ 216
    42016 ÷ 65536     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7200 ÷ 216
    7200 ÷ 65536     		y = 0.10986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10986328125 × 2 - 1) × π
    0.7802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45130129897119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45130129897119))-π/2
    2×atan(11.6034364388759)-π/2
    2×1.4848273780959-π/2
    2.9696547561918-1.57079632675     		φ = 1.39885843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39885843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.148684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42016 KachelY 7200 0.88664090 1.39885843 50.800782 80.148684
    Oben rechts KachelX + 1 42017 KachelY 7200 0.88673677 1.39885843 50.806274 80.148684
    Unten links KachelX 42016 KachelY + 1 7201 0.88664090 1.39884203 50.800782 80.147745
    Unten rechts KachelX + 1 42017 KachelY + 1 7201 0.88673677 1.39884203 50.806274 80.147745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39885843-1.39884203) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39885843-1.39884203) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88673677) × cos(1.39885843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171091991755112 × 6371000     		do = 104.500896108961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88673677) × cos(1.39884203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171108149915063 × 6371000     		du = 104.510765315445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39885843)-sin(1.39884203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171091991755112-0.171108149915063)×R²
    abs(0.88673677-0.88664090)×1.61581599507354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61581599507354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61581599507354e-05×40589641000000     		ar = 10919.2290187272m²