Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42017 / 9247
↖ ↑ ↗
← N 78.026713°
E 50.806274°		 ← 126.71 m → N 78.026713°
E 50.811767°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
N 78.025574°
E 50.806274°		 ← 126.72 m →
16 058 m²		 N 78.025574°
E 50.811767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641136169433594 y=0.141105651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641136169433594 × 216)
    floor (0.641136169433594 × 65536)
    floor (42017.5)     		tx = 42017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141105651855469 × 216)
    floor (0.141105651855469 × 65536)
    floor (9247.5)     		ty = 9247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42017 / 9247 ti = "16/42017/9247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42017/9247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42017 ÷ 216
    42017 ÷ 65536     		x = 0.641128540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9247 ÷ 216
    9247 ÷ 65536     		y = 0.141098022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641128540039062 × 2 - 1) × π
    0.282257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88673677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141098022460938 × 2 - 1) × π
    0.717803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25504763192668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88673677} λ = 0.88673677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25504763192668))-π/2
    2×atan(9.53574750535561)-π/2
    2×1.46630968896163-π/2
    2.93261937792326-1.57079632675     		φ = 1.36182305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88673677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.806274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36182305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.026713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42017 KachelY 9247 0.88673677 1.36182305 50.806274 78.026713
    Oben rechts KachelX + 1 42018 KachelY 9247 0.88683264 1.36182305 50.811767 78.026713
    Unten links KachelX 42017 KachelY + 1 9248 0.88673677 1.36180316 50.806274 78.025574
    Unten rechts KachelX + 1 42018 KachelY + 1 9248 0.88683264 1.36180316 50.811767 78.025574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36182305-1.36180316) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36182305-1.36180316) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88673677-0.88683264) × cos(1.36182305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207455623111979 × 6371000     		do = 126.711357414523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88673677-0.88683264) × cos(1.36180316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20747508035265 × 6371000     		du = 126.723241659163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36182305)-sin(1.36180316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207455623111979-0.20747508035265)×R²
    abs(0.88683264-0.88673677)×1.94572406714277e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94572406714277e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94572406714277e-05×40589641000000     		ar = 16057.513556991m²