Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42020 / 9252
↖ ↑ ↗
← N 78.021014°
E 50.822754°		 ← 126.77 m → N 78.021014°
E 50.828247°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 78.019874°
E 50.822754°		 ← 126.78 m →
16 073 m²		 N 78.019874°
E 50.828247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641181945800781 y=0.141181945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641181945800781 × 216)
    floor (0.641181945800781 × 65536)
    floor (42020.5)     		tx = 42020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141181945800781 × 216)
    floor (0.141181945800781 × 65536)
    floor (9252.5)     		ty = 9252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42020 / 9252 ti = "16/42020/9252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42020/9252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42020 ÷ 216
    42020 ÷ 65536     		x = 0.64117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9252 ÷ 216
    9252 ÷ 65536     		y = 0.14117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64117431640625 × 2 - 1) × π
    0.2823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88702439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14117431640625 × 2 - 1) × π
    0.7176513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25456826293048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88702439} λ = 0.88702439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25456826293048))-π/2
    2×atan(9.5311774591027)-π/2
    2×1.46625995340448-π/2
    2.93251990680897-1.57079632675     		φ = 1.36172358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88702439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36172358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.021014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42020 KachelY 9252 0.88702439 1.36172358 50.822754 78.021014
    Oben rechts KachelX + 1 42021 KachelY 9252 0.88712026 1.36172358 50.828247 78.021014
    Unten links KachelX 42020 KachelY + 1 9253 0.88702439 1.36170368 50.822754 78.019874
    Unten rechts KachelX + 1 42021 KachelY + 1 9253 0.88712026 1.36170368 50.828247 78.019874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36172358-1.36170368) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36172358-1.36170368) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88702439-0.88712026) × cos(1.36172358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207552928058939 × 6371000     		do = 126.770790086087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88702439-0.88712026) × cos(1.36170368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207572394671249 × 6371000     		du = 126.782680054809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36172358)-sin(1.36170368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207552928058939-0.207572394671249)×R²
    abs(0.88712026-0.88702439)×1.94666123103926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94666123103926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94666123103926e-05×40589641000000     		ar = 16073.1221254895m²