Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42024 / 9256
↖ ↑ ↗
← N 78.016453°
E 50.844727°		 ← 126.82 m → N 78.016453°
E 50.850220°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 78.015312°
E 50.844727°		 ← 126.83 m →
16 087 m²		 N 78.015312°
E 50.850220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641242980957031 y=0.141242980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641242980957031 × 216)
    floor (0.641242980957031 × 65536)
    floor (42024.5)     		tx = 42024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141242980957031 × 216)
    floor (0.141242980957031 × 65536)
    floor (9256.5)     		ty = 9256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42024 / 9256 ti = "16/42024/9256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42024/9256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42024 ÷ 216
    42024 ÷ 65536     		x = 0.6412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9256 ÷ 216
    9256 ÷ 65536     		y = 0.1412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    0.282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88740789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1412353515625 × 2 - 1) × π
    0.717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25418476773352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88740789} λ = 0.88740789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25418476773352))-π/2
    2×atan(9.52752299910447)-π/2
    2×1.46622014816313-π/2
    2.93244029632626-1.57079632675     		φ = 1.36164397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88740789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36164397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.016453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42024 KachelY 9256 0.88740789 1.36164397 50.844727 78.016453
    Oben rechts KachelX + 1 42025 KachelY 9256 0.88750376 1.36164397 50.850220 78.016453
    Unten links KachelX 42024 KachelY + 1 9257 0.88740789 1.36162406 50.844727 78.015312
    Unten rechts KachelX + 1 42025 KachelY + 1 9257 0.88750376 1.36162406 50.850220 78.015312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36164397-1.36162406) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36164397-1.36162406) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88740789-0.88750376) × cos(1.36164397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207630803797017 × 6371000     		do = 126.818355634485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88740789-0.88750376) × cos(1.36162406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207650279862468 × 6371000     		du = 126.83025137707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36164397)-sin(1.36162406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207630803797017-0.207650279862468)×R²
    abs(0.88750376-0.88740789)×1.94760654510517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94760654510517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94760654510517e-05×40589641000000     		ar = 16087.2329659967m²