Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42047 / 9280
↖ ↑ ↗
← N 77.989049°
E 50.971069°		 ← 127.12 m → N 77.989049°
E 50.976563°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
N 77.987906°
E 50.971069°		 ← 127.13 m →
16 158 m²		 N 77.987906°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641593933105469 y=0.141609191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641593933105469 × 216)
    floor (0.641593933105469 × 65536)
    floor (42047.5)     		tx = 42047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141609191894531 × 216)
    floor (0.141609191894531 × 65536)
    floor (9280.5)     		ty = 9280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42047 / 9280 ti = "16/42047/9280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42047/9280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42047 ÷ 216
    42047 ÷ 65536     		x = 0.641586303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9280 ÷ 216
    9280 ÷ 65536     		y = 0.1416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641586303710938 × 2 - 1) × π
    0.283172607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88961298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1416015625 × 2 - 1) × π
    0.716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25188379655176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88961298} λ = 0.88961298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25188379655176))-π/2
    2×atan(9.50562564550099)-π/2
    2×1.46598100288739-π/2
    2.93196200577478-1.57079632675     		φ = 1.36116568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88961298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.971069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36116568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.989049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42047 KachelY 9280 0.88961298 1.36116568 50.971069 77.989049
    Oben rechts KachelX + 1 42048 KachelY 9280 0.88970886 1.36116568 50.976563 77.989049
    Unten links KachelX 42047 KachelY + 1 9281 0.88961298 1.36114573 50.971069 77.987906
    Unten rechts KachelX + 1 42048 KachelY + 1 9281 0.88970886 1.36114573 50.976563 77.987906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36116568-1.36114573) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36116568-1.36114573) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88961298-0.88970886) × cos(1.36116568) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208098646782033 × 6371000     		do = 127.117366372866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88961298-0.88970886) × cos(1.36114573) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208118159992095 × 6371000     		du = 127.129286046112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36116568)-sin(1.36114573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208098646782033-0.208118159992095)×R²
    abs(0.88970886-0.88961298)×1.9513210061467e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.9513210061467e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.9513210061467e-05×40589641000000     		ar = 16157.5590904503m²