Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42056 / 9288
↖ ↑ ↗
← N 77.979900°
E 51.020508°		 ← 127.20 m → N 77.979900°
E 51.026001°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 77.978756°
E 51.020508°		 ← 127.21 m →
16 184 m²		 N 77.978756°
E 51.026001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641731262207031 y=0.141731262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641731262207031 × 216)
    floor (0.641731262207031 × 65536)
    floor (42056.5)     		tx = 42056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141731262207031 × 216)
    floor (0.141731262207031 × 65536)
    floor (9288.5)     		ty = 9288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42056 / 9288 ti = "16/42056/9288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42056/9288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42056 ÷ 216
    42056 ÷ 65536     		x = 0.6417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9288 ÷ 216
    9288 ÷ 65536     		y = 0.1417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    0.283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89047585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1417236328125 × 2 - 1) × π
    0.716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89047585} λ = 0.89047585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25111680615784))-π/2
    2×atan(9.49833771718546)-π/2
    2×1.46590116811356-π/2
    2.93180233622712-1.57079632675     		φ = 1.36100601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89047585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36100601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.979900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42056 KachelY 9288 0.89047585 1.36100601 51.020508 77.979900
    Oben rechts KachelX + 1 42057 KachelY 9288 0.89057172 1.36100601 51.026001 77.979900
    Unten links KachelX 42056 KachelY + 1 9289 0.89047585 1.36098604 51.020508 77.978756
    Unten rechts KachelX + 1 42057 KachelY + 1 9289 0.89057172 1.36098604 51.026001 77.978756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36100601-1.36098604) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36100601-1.36098604) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89047585-0.89057172) × cos(1.36100601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20825481860803 × 6371000     		do = 127.19949624935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89047585-0.89057172) × cos(1.36098604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208274350716339 × 6371000     		du = 127.211426222228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36100601)-sin(1.36098604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20825481860803-0.208274350716339)×R²
    abs(0.89057172-0.89047585)×1.95321083098221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95321083098221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95321083098221e-05×40589641000000     		ar = 16184.2070918041m²