Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 421 / 677
↖ ↑ ↗
← S 50.064192°
W 31.992188°		 ← 25.094 km → S 50.064192°
W 31.640625°		 →
↑
25.035 km
↓
↑
25.035 km
↓
S 50.289339°
W 31.992188°		 ← 24.976 km →
626.767 km²		 S 50.289339°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41162109375 y=0.66162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41162109375 × 210)
    floor (0.41162109375 × 1024)
    floor (421.5)     		tx = 421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66162109375 × 210)
    floor (0.66162109375 × 1024)
    floor (677.5)     		ty = 677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 421 / 677 ti = "10/421/677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/421/677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 421 ÷ 210
    421 ÷ 1024     		x = 0.4111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 677 ÷ 210
    677 ÷ 1024     		y = 0.6611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55836901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6611328125 × 2 - 1) × π
    -0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55836901} λ = -0.55836901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01242731997559))-π/2
    2×atan(0.363335975666976)-π/2
    2×0.348505671829517-π/2
    0.697011343659033-1.57079632675     		φ = -0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55836901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.992188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 421 KachelY 677 -0.55836901 -0.87378498 -31.992188 -50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 422 KachelY 677 -0.55223308 -0.87378498 -31.640625 -50.064192
    Unten links KachelX 421 KachelY + 1 678 -0.55836901 -0.87771455 -31.992188 -50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 422 KachelY + 1 678 -0.55223308 -0.87771455 -31.640625 -50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87378498--0.87771455) × R
    0.00392956999999994 × 6371000     		dl = 25035.2904699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87378498--0.87771455) × R
    0.00392956999999994 × 6371000     		dr = 25035.2904699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55836901--0.55223308) × cos(-0.87378498) × R
    0.00613593000000001 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 25094.2935577423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55836901--0.55223308) × cos(-0.87771455) × R
    0.00613593000000001 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 24976.3138061893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87378498)-sin(-0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.638910963826672)×R²
    abs(-0.55223308--0.55836901)×0.00301800166997046×R²
    0.00613593000000001×0.00301800166997046×6371000²
    0.00613593000000001×0.00301800166997046×40589641000000     		ar = 626766906.202359m²