Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42112 / 58496
↖ ↑ ↗
← S 80.297927°
E 51.328125°		 ← 102.93 m → S 80.297927°
E 51.333618°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 80.298853°
E 51.328125°		 ← 102.92 m →
10 597 m²		 S 80.298853°
E 51.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642585754394531 y=0.892585754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642585754394531 × 216)
    floor (0.642585754394531 × 65536)
    floor (42112.5)     		tx = 42112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892585754394531 × 216)
    floor (0.892585754394531 × 65536)
    floor (58496.5)     		ty = 58496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42112 / 58496 ti = "16/42112/58496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42112/58496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42112 ÷ 216
    42112 ÷ 65536     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58496 ÷ 216
    58496 ÷ 65536     		y = 0.892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892578125 × 2 - 1) × π
    -0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46664110684961))-π/2
    2×atan(0.0848694481898644)-π/2
    2×0.0846665577565924-π/2
    0.169333115513185-1.57079632675     		φ = -1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42112 KachelY 58496 0.89584478 -1.40146321 51.328125 -80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 42113 KachelY 58496 0.89594065 -1.40146321 51.333618 -80.297927
    Unten links KachelX 42112 KachelY + 1 58497 0.89584478 -1.40147937 51.328125 -80.298853
    Unten rechts KachelX + 1 42113 KachelY + 1 58497 0.89594065 -1.40147937 51.333618 -80.298853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40146321--1.40147937) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40146321--1.40147937) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89594065) × cos(-1.40146321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 102.933034327835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89594065) × cos(-1.40147937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168509112675408 × 6371000     		du = 102.923305155689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40146321)-sin(-1.40147937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.168509112675408)×R²
    abs(0.89594065-0.89584478)×1.59288915453637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59288915453637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59288915453637e-05×40589641000000     		ar = 10597.0067699277m²