Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42112 / 9088
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 51.328125°		 ← 124.84 m → N 78.206563°
E 51.333618°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 78.205441°
E 51.328125°		 ← 124.85 m →
15 581 m²		 N 78.205441°
E 51.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642585754394531 y=0.138679504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642585754394531 × 216)
    floor (0.642585754394531 × 65536)
    floor (42112.5)     		tx = 42112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138679504394531 × 216)
    floor (0.138679504394531 × 65536)
    floor (9088.5)     		ty = 9088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42112 / 9088 ti = "16/42112/9088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42112/9088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42112 ÷ 216
    42112 ÷ 65536     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9088 ÷ 216
    9088 ÷ 65536     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42112 KachelY 9088 0.89584478 1.36496202 51.328125 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 42113 KachelY 9088 0.89594065 1.36496202 51.333618 78.206563
    Unten links KachelX 42112 KachelY + 1 9089 0.89584478 1.36494243 51.328125 78.205441
    Unten rechts KachelX + 1 42113 KachelY + 1 9089 0.89594065 1.36494243 51.333618 78.205441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36494243) × R
    1.95900000001803e-05 × 6371000     		dl = 124.807890001149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36494243) × R
    1.95900000001803e-05 × 6371000     		dr = 124.807890001149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89594065) × cos(1.36496202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 124.835202503721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89594065) × cos(1.36494243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204403102625424 × 6371000     		du = 124.846915233661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36494243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.204403102625424)×R²
    abs(0.89594065-0.89584478)×1.91764316768983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91764316768983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91764316768983e-05×40589641000000     		ar = 15581.1491436717m²