Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42113 / 9345
↖ ↑ ↗
← N 77.914519°
E 51.333618°		 ← 127.89 m → N 77.914519°
E 51.339111°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 77.913369°
E 51.333618°		 ← 127.91 m →
16 354 m²		 N 77.913369°
E 51.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642601013183594 y=0.142601013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642601013183594 × 216)
    floor (0.642601013183594 × 65536)
    floor (42113.5)     		tx = 42113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142601013183594 × 216)
    floor (0.142601013183594 × 65536)
    floor (9345.5)     		ty = 9345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42113 / 9345 ti = "16/42113/9345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42113/9345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42113 ÷ 216
    42113 ÷ 65536     		x = 0.642593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9345 ÷ 216
    9345 ÷ 65536     		y = 0.142593383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642593383789062 × 2 - 1) × π
    0.285186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89594065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142593383789062 × 2 - 1) × π
    0.714813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24565199960115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89594065} λ = 0.89594065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24565199960115))-π/2
    2×atan(9.44657271065078)-π/2
    2×1.46533060862768-π/2
    2.93066121725537-1.57079632675     		φ = 1.35986489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89594065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.333618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35986489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.914519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42113 KachelY 9345 0.89594065 1.35986489 51.333618 77.914519
    Oben rechts KachelX + 1 42114 KachelY 9345 0.89603653 1.35986489 51.339111 77.914519
    Unten links KachelX 42113 KachelY + 1 9346 0.89594065 1.35984482 51.333618 77.913369
    Unten rechts KachelX + 1 42114 KachelY + 1 9346 0.89603653 1.35984482 51.339111 77.913369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35986489-1.35984482) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dl = 127.865970000954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35986489-1.35984482) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dr = 127.865970000954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89594065-0.89603653) × cos(1.35986489) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209370783267657 × 6371000     		do = 127.894452827871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89594065-0.89603653) × cos(1.35984482) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209390408400496 × 6371000     		du = 127.906440869311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35986489)-sin(1.35984482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209370783267657-0.209390408400496)×R²
    abs(0.89603653-0.89594065)×1.96251328391517e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.96251328391517e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.96251328391517e-05×40589641000000     		ar = 16354.114700441m²